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一等于二这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。
6A
卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷内，显然是——”
她打断他，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着便拿出一张白纸，在书桌前坐下，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。
她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一栏的顶部写下数字1，另一栏的顶部写下数字2。接着她在这两个数字下面迅速地画了一些潦草的符号，又在这些符号下面把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。
写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号缩短成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己用力过大，下意识地放松握在手中的铅笔。在她写出的下一行上，符号串变成一样的了。接着，她重重地画了个“”号，横过纸的底部中心线。
她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照办了，“再看一看最下面。”
他眉头紧锁。“我还是看不懂。”
“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”
卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”
“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”
卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”
“但在形式上它们是相等的，证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”
“但你得出了一个矛盾的结果？”
“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”
6B
“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”
“不对，你没有明白我的意思。你以为我是因为这个才焦头烂额的吗？证明本身并没有错误。”
“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”
“正确。”
“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然可以肯定。他想知道她到底想得出什么结论。
“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学，这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择字眼，“你怎么能这么说？数学仍然有用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏，是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
“不一样。”
“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这也意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了；数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到的虚数这类想象出来的概念，大家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添了新的内容，而我的形式系统却是给已经存在的东西下定义。”
“但是，如果你改变语境，从不同的角度探索——”
她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。”
7
一九三六年，格哈德·根岑提出了一种对算术一致性的证明，可是要作出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。
7A
卡拉汉从伯克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的，而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，如果这个体系的确包含他们两人都无法发现的错误，数学界肯定会有其他人能够发现。
雷内几乎没有听他说话，只是嘀咕以后会打电话联系他。近来，她与人讲话很困难，尤其是那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉。前一天夜里她做了一个噩梦，梦见自己发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。
有一种可能性让她十分惊恐：她可能正在失去理智。她的思维肯定已不再清晰，这与失去理智已经相差无几了。
她责备自己，你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后自杀了吗？
但是，哥德尔的定理是优美的，让人肃然起敬，是雷内所见过的最优美的定理之一。
而她自己的证明却嘲讽她，讥笑她。就好像益智书中的一道难题，它说：这下我可把你难住了。你跳过这个错误，查看自己在哪儿出了问题，结果绕了一圈又兜回来，那个难题再一次对你说：又把你难住了。
她估计卡拉汉也会考虑她的发现对数学的意义。数学的许多内容并没有实际用处，她的理论也可以仅仅作为一种形式而存在，研究它只是为了它所包含的智力美。但这是不能持久的。自相矛盾的理论实在太无意义了，绝大多数数学家只会厌恶地置之不理。
使雷内真正感到恼火的是她自己的直觉出卖了她。那个该死的定理大有道理。它以自己怪异的方式给人一种感觉：它是正确的。她理解它，知道它是真实的，并且相信它。
7B
想到她生日那天的情景，卡尔微笑起来。
“我不相信！你怎么可能知道？”她手里抱着一件毛衣跑下楼来。
去年夏天，他们俩在苏格兰度假。爱丁堡一家百货商店有一件毛衣吸引住了雷内的目光，但当时她没有买。于是他订购了这件毛衣，放在她的梳妆台抽屉里，等那天早晨给她一个惊喜。
“你这个人太容易被人一眼识破了。”他取笑她。夫妻俩都知道这不是真话，但他还是喜欢这样告诉她。
那是两个月前的事情了。差点两个月。
现在情况不同了，需要改变一下做法。卡尔走进雷内的书房，发现她正坐在椅子上眺望窗外。“猜一猜我为我们俩搞到了什么？”
她抬起头来。“什么？”
“周末游。我在比尔特莫尔订了一套房间。我们可以放松放松，什么都不做——”
“请别说下去了。”雷内说，“卡尔，我明白你的心意。你想让我们做点愉快的事情，好让我散散心，不去想这个形式体系。但这不起作用。你不知道我承受的是什么样的压力。”
“算了吧，算了吧。”他拉住她的手，想把她从椅子上拉起来，可是她挣开了。卡尔稍站片刻，突然，她转过身来，死死盯着他。
“我想吃安眠药，这你知道吗？我几乎希望自己是一个白痴，用不着去思考形式体系。”
他大吃一惊，不知道说什么好。“你至少可以尝试离开一段时间，为什么不呢？有益无害呀，说不准能分散你的心思呢。”
“没有什么可以分散我的心思。你不明白。”
“那就解释给我听吧。”
雷内呼出一口气，转身想了一下。“这就像我看见的一切都在向我大喊大叫那个矛盾。”她说，“现在我一直在给不同的数字画等号。”
卡尔陷入了沉默。突然间，他懂了。“这就好像面对量子力学问题的古典物理学家们。仿佛你一直相信的理论给取代了，而新的理论又没有意义，但不知怎么回事，所有证据却都支持这种新理论。”
“不对，压根儿不是那么回事。”她几乎对他的说法嗤之以鼻，“这与证据没有丝毫关系；这完全是先验的。”
“怎么没关系？你的推理和证据之间互相矛盾，这不正是你的问题吗？”
“基督呀，你在开玩笑吗？我测算一和二相等，现在我的直觉也告诉我它们相等。我脑子里再也没有不同数量这个概念了，它们对我来说全都是相同的。”
“你不是这个意思吧。”他说，“事实上谁也不可能经历这种事情。”
“你怎么知道我能够经历什么呢？”
“我在尽力去理解。”
“别操那份心了。”
卡尔失去了耐心。“那好吧。”说着他走出房间，取消了预订。
从那之后，夫妻俩彼此寡言少语，只有必要时才说话。三天后，卡尔把他需要用的一盒载玻片落在家里，便驱车回家取，到家后发现桌子上有一张妻子的留言条。
接下来，卡尔产生了两个直觉。他飞奔穿过房子，边跑边纳闷她是否从化学系搞到了氰化物。就在这时，他产生了第一个直觉：他意识到因为不明白是什么原因导致她做出这种事，所以对她没有什么同情之类的感受，没有任何感受。
当他一边猛敲卧室门，一边向屋里的她吼叫的时候，他产生了第二个直觉：一种记忆错觉。这种情形似曾相识，却又逆反得荒谬。他记得自己曾经待在一座建筑物房顶的一道锁着的门内，听见一位朋友在外面一边猛力敲门，一边向他吼叫别寻短见。此刻他站在卧室门外，听见她羞愧地瘫倒在地板上哭泣，与他当年待在门里面时的情形毫无二致。
8
希尔伯特曾经说过：“如果连数学思维都有缺陷，我们还能在哪里找到真理与确定呢？”
8A
雷内暗自纳闷：她自杀未遂会给自己的一生蒙上阴影吗？她把书桌上的论文整理好。从此以后，人们会下意识地把她视为行为反复无常的人吗？她从来没有问过卡尔他是否也有过这种焦虑，也许是因为不愿对他提起当年他自杀的事。那是多年以前的事了，如今，任何见到他的人都会立刻知道他是一个健全的人。
然而，雷内却不能说自己是个健全的人。眼下，她不能理性地讨论数学，而且不敢肯定将来她是否能够恢复理智。现在，如果她的同事见到她，会不会说她已经丧失了数学才华？
做完案头的工作，雷内离开书房，走进起居室。她的形式体系传遍数学界后，将彻底动摇根深蒂固的数学基础，但是只有少数人会受到她这样的影响。大多数人会像法布里希一样，机械地理解她的证明，被它折服，但仅此而已。能同她一样感受深切的只有那些能够真正领会其中的矛盾，并能够凭直觉感知这种矛盾的人。卡拉汉就是其中的一位。她心想，随着时间的推移，不知他会如何对付这个矛盾。
雷内用手指在铺满灰尘的茶几上画了一条曲线。如果是在以前，她可能会确定曲线的参数，分析曲线的一些特点。而现在，这一切似乎都毫无意义了。她的想象力简直崩溃了。
同许多人一样，她以前一直以为数学并不从宇宙那里获得意义，而是赋予宇宙以意义。物理实体无所谓大或者小，无所谓相同或者不相同，它们纯粹是存在。数学是完全独立的，它实际上赋予这些物理实体以语义，提供范畴和关系。它并不描述任何内在的品质，仅仅提供一种可能的阐释。
然而，这一切都不复存在了。数学一旦从物理实体分离出来，就不一致了，而一种形式理论如果不一致，就变得毫无意义。算术是经验主义的，仅此而已，引不起她的任何兴趣。
那么，现在她改行干什么呢？她知道曾经有个人放弃学术研究去卖手工皮革制品。她需要一段时间重新找回自我，而这正是卡尔一直努力帮助她做的。
8B
卡尔的朋友中有两个女人，马琳和安娜，她们俩也是知心好友。几年前，马琳曾经想自杀，她并没有寻求安娜的帮助，而是求助于卡尔。有几次，卡尔和马琳坐在一块儿，通宵达旦，或促膝谈心，或默默相视。卡尔知道安娜一直对他和马琳之间的心灵相通有一点儿嫉妒。他究竟有什么奥妙，能走进马琳的心灵，对此安娜一直感到纳闷。其实答案很简单。这就是同情与共鸣之间的差异。
卡尔一生不止一次在类似的情况下给予他人安慰。不用说，他为自己能够帮助他人感到高兴，但还不止这个。他觉得替别人设身处地，把自己当作另一个人，这种感觉很好。
迄今为止，他一直有理由认为富有同情心是他的本性。他珍视这一点，觉得自己如果不能与他人产生共鸣就一无是处。可是，现在他却遭遇到他前所未遇的事情，在这件事面前，他平时的本能不起任何作用了。
如果有人在雷内生日那天告诉他，两个月后他就会有这种感觉，那他